En la siguiente construcción de Geogebra se puede observar que siempre la derivada en un punto (denotada b en la construcción) y la pendiente de la recta tangente (el número que acompaña a la x) son siempre iguales. Se puede cambiar la función y el procedimiento sigue funcionando (lo que induce a creer que algo habrá de cierto en lo que decimos en clase).
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lunes, 21 de marzo de 2011
martes, 22 de febrero de 2011
14 Geogebra. Las transformaciones de funciones
Hemos visto en clase, que si dada una función f(x) construimos la función f(x-a) entonces el dibujo se desplaza hacia un lateral (¿cual?). En el siguiente applet hemos introducido una función arbitraria tecleando
Si queremos analizar qué sucede cuando cambiamos el signo a la x podemos construir otra función
f(x) = x^3-4x+2
Posteriormente se construye otra función, y la llamamos g(x). Por ejemplo podemos teclear
g(x) = f(x-2)
Debemos observar que le ocurre al dibujo de la nueva función. Lo mismo se puede realizar con cualquier otra transformación. En el applet en vez del 2 he introducido un valor a que se puede modificar con el ratón para observar su comportamiento.
Si queremos analizar qué sucede cuando cambiamos el signo a la x podemos construir otra función
h(x) = f(-x)
Lo mismo con cualquier transformación de las funciones que hemos visto en clase.
jueves, 10 de febrero de 2011
13 Geogebra. La suma de los radio-vectores es constante
En este applet podemos comprobar como efectivamente la suma de los segmentos que unen el punto con los focos (que a veces reciben el nombre de radio-vectores) es constante, esté colocada la elipse como esteé y tenga el tamaño que tenga.
12 Geogebra. La elipse
Tenemos la ecuación de la elipse. La a es el semieje horizontal y b es el semieje vertica. Si el semieje horizontal es mayor que el vertical, entonces la elipse es "horizontal". En caso contrario es "vertical" y si ambos coinciden tenemos la circunferencia, que es un caso particular de elipse, con los focos coincidentes. También se visualizan los focos, que están sobre el eje x o sobre el eje y.
miércoles, 9 de febrero de 2011
11 Geogebra. Comprobación "empírica" de la potencia
En clase hemos visto muy por encima el concepto de potencia. La parte más increíble de todo tiene que ver con la idea de que el resultado no varía si movemos la recta que corta a la circunferencia. En el siguiente applet no lo demostramos, pero al menos se puede experimentar y ver que efectivamente no depende de la secante que tracemos. Por el diseño del applet, solamente es válido para potencias de un punto exterior. Se puede mover el punto exterior P, cambiar el tamaño de la circunferencia y mover la secante.
lunes, 7 de febrero de 2011
10 Geogebra. Las funciones exponenciales
En este applet vemos como varía la forma de una función exponencial dependiendo del valor de su base. Para bases mayores que 1 la función es creciente. Cuanto más grande es la base mas se "cierra". Para valores menores que uno da función es decreciente. La función principal la hemos pintado de azul y en trazo grueso. En trazo rojo y discontinuo aparece la función cuya base es la inversa (si una es 2, la otra es 1/2, si una es 3, la otra base es 1/3,..). Se debe observar que ambas gráficas son simétricas y por lo tanto sabiendo dibujar las exponenciales con la base mayor que 1, debemos poder dibujar también las de base menor que 1 (y mayor que cero).
martes, 1 de febrero de 2011
09 Geogebra. Las hipérbolas
Hemos visto (más o menos, sin mucho detalle) en clase que el número que acompaña a la x (llamado b en el dibujo) tiene que ver con el desplazamiento horizontal y que el término independiente (c) tiene que ver con el movimiento vertical. Debemos analizar como influye el numerador (llamado a en el applet) en la forma de la parábola. No solamente hay que hacer un análisis cualitativo (si aumenta a entonces pasa...). También debe ser cuantitativo: si a vale tanto entonces la hipérbola está a tanta distancia,... Para visualizar mejor estos aspectos he dibujado unos ejes y un triángulo con sus medidas. Es muy importante también analizar la influencia del signo de a en la forma de la hipérbola.
sábado, 29 de enero de 2011
08 Geogebra. Las ecuaciones de segundo grado y las parábolas
Hemos visto en la entrada anterior que una parábola escrita en la forma y = ax^2 + bx + c es bastante difícil de analizar. Sin embargo si conseguimos escribirla en la forma y = h(x-j)^2 + k la gráfica es mucho más sencilla.
Observar en el siguiente applet como la j y la k son siempre las coordenadas del vértice.
Por lo tanto, una forma rápida de dibujar una parábola consta de dos pasos:
- La h (que coincide con la a de la ecuación general) indica si la parábola es abierta o cerrada. Además nos informa si la parábola es cóncava o convexa.
- La j es la primera coordenada del vértice. Al variar la j la parábola se mueve en horizontal.
- La k es la segunda coordenada del vértice. Al variar este parámetro la parábola sube o baja.
Observar en el siguiente applet como la j y la k son siempre las coordenadas del vértice.
Por lo tanto, una forma rápida de dibujar una parábola consta de dos pasos:
- Calcular el vértice.
- Viendo la a de la fórmula abrir o cerrar más la parábola. Además nos indica si es cóncava o convexa.
Truco.
Tecleando en WolframAlpha (mirar a la derecha) el polinomio de segundo grado, por ejemplo
3x^2 - 5x + 2
y buscando entre las soluciones encontramos lo siguiente
donde nos aparece la solución.
martes, 25 de enero de 2011
07 Geogebra. Ejercicio para 4º, jueves 27-01-2011
Aquí tenemos el dibujo o gráfica de una parábola
Explicar como influye el valor de a (sobre todo su signo) en la forma de la parábola. ¿Y el valor de c?
Utilizando el applet situado debajo de estas líneas, intentar encontrar (de modo lo aproximado posible) la ecuación de dicha parábola.
Explicar como influye el valor de a (sobre todo su signo) en la forma de la parábola. ¿Y el valor de c?
lunes, 24 de enero de 2011
06 Geogebra. Cálculo del área de un triángulo
Problema.
Encontrar el área del triángulo de vértices A=(3,4), B=(8,6) y C=(-3,-5).
Resolución.
Esta versión de Geogebra no está muy preparada para calcular determinantes, pero aun así lo puede realizar. Tecleamos, tal como viene aquí con sus corchetes y sus paréntesis, las cuatro coordenadas de los vectores.
Encontrar el área del triángulo de vértices A=(3,4), B=(8,6) y C=(-3,-5).
Resolución.
- Tecleamos los puntos A=(3,4), ....
- Con la herramienta "Polígono" trazamos el triángulo y en la ventana de álgebra nos aparece su área (lo llama polígono1).
- Ahora con la herramienta "vector" construimos los vectores AB y AC, que Geogebra normalmente denotará por u y v mostrándolos en la ventana de álgebra. En nuestro caso son u=(-6,-9) y v=(5,2).
Esta versión de Geogebra no está muy preparada para calcular determinantes, pero aun así lo puede realizar. Tecleamos, tal como viene aquí con sus corchetes y sus paréntesis, las cuatro coordenadas de los vectores.
Determinante[{{-6,-9},{5,2}}]
Naturalmente nos da 33, que es doble del área del triángulo.
05 Geogebra. Pendiente de una recta
Problema.
Encontrar la pendiente de una recta que pasa por los puntos A=(2,3) y B=(-1,4).
Resolución.
Tecleamos los puntos A=(2,3) y B=(-1,4) en la línea de comandos. Con la herramienta recta, construimos la recta que pasa por ambos puntos. En la ventana de álgebra nos aparece una nueva ecuación del tipo x+3y=11. Hacemos clic con el botón derecho sobre dicha ecuación y nos aparece un nuevo tipo de fórmula, que pone "Ecuación y=ax+b". Al dar dicho menú nos aparece la pendiente, que es el número que acompaña a la x. Si queremos todavía más detalle podemos teclear en la línea de comando "Pendiente[a]", donde a se supone que es el nombre que Geogebra le da a la recta.
Encontrar la pendiente de una recta que pasa por los puntos A=(2,3) y B=(-1,4).
Resolución.
Tecleamos los puntos A=(2,3) y B=(-1,4) en la línea de comandos. Con la herramienta recta, construimos la recta que pasa por ambos puntos. En la ventana de álgebra nos aparece una nueva ecuación del tipo x+3y=11. Hacemos clic con el botón derecho sobre dicha ecuación y nos aparece un nuevo tipo de fórmula, que pone "Ecuación y=ax+b". Al dar dicho menú nos aparece la pendiente, que es el número que acompaña a la x. Si queremos todavía más detalle podemos teclear en la línea de comando "Pendiente[a]", donde a se supone que es el nombre que Geogebra le da a la recta.
miércoles, 19 de enero de 2011
04. Geogebra. Encontrar el valor de k
Problema.
Halla el valor de k para que la recta x+ky-7=0 contenga al punto A=(5,-2).
Resolución.
Halla el valor de k para que la recta x+ky-7=0 contenga al punto A=(5,-2).
Resolución.
- Tecleamos A=(5,-2) para introducir el punto.
- Escribimos ahora k=1 (o igual a otro valor) para introducir el parámetro.
- Ahora introducimos la ecuación (no olvidar el asterisco para la multiplicación): x+k*y-7=0
- Hacemos clic en punto que está al lado de la k para mostrarla en la zona de dibujo.
- Aunque no es necesario introducimos el vector normal: vector[(1,k)]
- Movemos el deslizador para resolver el problema.
jueves, 13 de enero de 2011
03 Geogebra. Puntos alineados
Problema.
Calcular k para que los puntos A=(-3,5), B=(2,1) y C=(6,k) estén alineados.
Resolución.
- Escribimos A=(-3,5) en la línea de comandos. Hacemos lo mismo con el punto B.
- Ahora escribimos k=0. En la ventana de álgebra nos aparece la k con un circulito vacío a su lado. Pulsamos sobre dicho circulito y nos aparece un "deslizador" en la pantalla de dibujo.
- Tecleamos C=(6,k) y nos aparece un punto. Si movemos el deslizador k se mueve el punto.
- Con la herramienta "Recta" trazamos la recta que pasa por A y por B.
- Movemos el deslizador para que C esté en la recta.
Observaciones.
A veces al mover k el punto C no llega a colocarse sobre la recta. En nuestro caso k puede variar entre -5 y 5. Si hacemos clic derecho sobre el deslizador podremos modificar dichos valores.
Descargar el archivo.
martes, 11 de enero de 2011
02 Geogebra. Ángulo y punto de corte de dos rectas
Problema.
Calcular el ángulo y el punto de corte de las rectas:
Se puede descargar el archivo.
Calcular el ángulo y el punto de corte de las rectas:
y-3 = 2(x-1) y+2 = 3(x+2)
Resolución.
Se hace del mismo modo que el ejercicio anterior. Puede ocurrir que el punto de corte nos quede fuera de la pantalla. En ese caso empleamos los botones de zoom (también puede emplearse la rueda del ratón).
Observar que Geogebra escribe la ecuación en la llamada forma normal (como la que se utiliza en los sistemas de ecuaciones). Si hacemos clic derecho sobre una de las rectas nos da la opción de que la ecuación se escriba en forma explícita o en forma paramétrica.
Para poder apreciar todos los pasos que se siguen en una construcción de Geogebra nos vamos a "Vista-Barra de Navegación por Pasos de Construcción" y podemos ver todos los pasos seguidos para crear el archivo.
Se puede descargar el archivo.
01 Geogebra. Cálculo del ángulo de dos rectas
Problema.
Calcular el punto de corte y el ángulo que forman las rectas:
Calcular el punto de corte y el ángulo que forman las rectas:
y = 2x + 3 y = -3x + 1
Resolución:
- En la línea de comando escribimos la ecuación de la primera recta (teniendo en cuenta que la multiplicación se escribe con el asterisco por lo que debemos escribir 2*x).
- Hacemos lo mismo con la segunda ecuación.
- Seleccionamos la herramienta "Intersección de Dos Objetos" y pinchamos sobre ambas rectas. Nos aparece un punto dibujado y en la ventana de álgebra nos aparecen las coordenadas del punto (lo escribe con decimales y no con fracciones).
- Ahora con la herramienta "Ángulo" pinchamos sobre ambas rectas. Dependiendo del orden en que pinchemos las rectas nos sale un ángulo u otro. Si nos sale el que no deseamos, podemos dar a "Edición-Deshacer" y hacerlo bien. El ángulo nos aparece tanto en la ventana de álgebra como en la ventana de dibujo.
- Si somos un poco detallistas, podemos hacer clic con el botón derecho sobre alguno de los elemento y cambiarle el color o el grosor.
- El archivo de geogebra puede descargarse aquí.
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